a) Xét hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\)

Ta có \(y'=4ax^3+2bx=2x\left(2ax^2+b\right)\)

         \(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(2ax^2+b=0\left(1\right)\)

Đồ thị  hàm số có 3 cực trị phân biệt khi và chỉ khi \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow ab< 0\) (*)

Với điều kiện (*) thì đồ  thị có 3 điểm cực trị là :

\(A\left(0;c\right);B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right);C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a},}c-\frac{b^2}{4a}\right)\)

Ta có \(AB=AC=\sqrt{\frac{b^2-8ab}{16a^2}};BC=\sqrt{-\frac{2b}{a}}\) nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi vuông tại A.

Khi đó \(BC^2=2AB^2\Leftrightarrow b^3+8a=0\)

Do đó yêu cầu bài toán\(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\b^3+8a=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\-8\left(m+1\right)^3+8=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=0\)

b) Ta có yêu cầu bài toán  \(\Leftrightarrow\begin{cases}ab< 0\\OA=BC\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-2\left(m+1\right)< 0\\m^2-4\left(m+1\right)=0\end{cases}\)

                                                           \(\Leftrightarrow m=2\pm2\sqrt{2}\)

Hàm có 3 cực trị khi \(-2\left(m+1\right)< 0\Leftrightarrow m>-1\)

\(y'=4x^3-4\left(m+1\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=m\\x=-\sqrt{m+1}\Rightarrow y=-m^2-m-1\\x=\sqrt{m+1}\Rightarrow y=-m^2-m-1\end{matrix}\right.\)

Gọi 3 điểm cực trị là A, B, C với \(A\left(0;m\right)\) và \(B\left(\sqrt{m+1};-m^2-m+1\right)\)

Tam giác ABC cân tại A nên nó đều khi \(B=60^0\)

\(\Rightarrow tanB=tan60^0=\dfrac{y_A-y_B}{x_B}\Leftrightarrow\sqrt{3}=\dfrac{m^2+2m+1}{\sqrt{m+1}}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^3=3\Rightarrow m=\sqrt[3]{3}-1\)

\(y'=4x^3-4mx=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\x^2=m\end{matrix}\right.\)

Hàm có 3 cực trị khi \(m>0\)

Khi đó gọi 3 điểm cực trị là A; B; C với \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(0;m\right)\\B\left(\sqrt{m};-m^2+m\right)\\C\left(-\sqrt{m};-m^2+m\right)\end{matrix}\right.\)

Tam giác ABC luôn cân tại A

Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=\left|y_B-y_A\right|=m^2\\BC=\left|x_B-x_A\right|=2\sqrt{m}\end{matrix}\right.\)

Do tam giác vuông cân

\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow m^2=\sqrt{m}\Rightarrow m=1\)

Chọn D

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

Vì B, C đối xứng với nhau qua trục tung nên  B C ⊥ O A

Do đó O là trực tâm tam giác:

Kết hợp điều kiện, vậy m = 1 là giá trị cần tìm

Chọn D

y ' = 4 x 3 - 4 m x

Hàm số có 3 điểm cực trị  ⇔ m > 0

Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là

A (0;m-1)

B ( m ; m 2 + m - 1 )

C ( - m ; m 2 + m - 1 )

Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên  B C ⊥ O A

Do đó O là trực tâm tam giác ABC

Với  O B ⇀ = ( m , m 2 + m - 1 ) , A C ⇀ = ( - m , m 2 )

Vậy m = 1 là gtct

+ Đạo hàm y’  = 4x³- 4mx

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và  chỉ khi m≠0.

+ Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:

+ Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC và OA vuông góc với nhau. 

Do đó O là trực tâm tam giác ABC  khi và chỉ khi OB vuông góc AC hay 

Với 

Kết hợp với điều kiện m ≠ 0 thì m = 1 là giá trị cần tìm.

Chọn B.

Đáp án đúng : A